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TeX
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\hypertarget{uxe9nergie-de-loscillateur-harmonique}{%
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\section[Énergie de l'oscillateur
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harmonique]{\texorpdfstring{\protect\hypertarget{anchor}{}{}Énergie de
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l'oscillateur
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harmonique}{Énergie de l'oscillateur harmonique}}\label{uxe9nergie-de-loscillateur-harmonique}}
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\hypertarget{viduxe9os-uxe0-regarder-sur-youtube}{%
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\subsection[Vidéos à regarder sur
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YouTube]{\texorpdfstring{\protect\hypertarget{anchor-1}{}{}Vidéos à
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regarder sur
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YouTube}{Vidéos à regarder sur YouTube}}\label{viduxe9os-uxe0-regarder-sur-youtube}}
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\begin{enumerate}
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\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
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\tightlist
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\item
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\href{https://youtu.be/sXIMn32DK7A}{\emph{https://youtu.be/sXIMn32DK7A}}
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\item
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\href{https://youtu.be/NrSj516RLQM}{\emph{https://youtu.be/NrSj516RLQM}}
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\end{enumerate}
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\hypertarget{diffuxe9rentes-formes-duxe9nergie-dun-oscillateur-harmonique}{%
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\subsection[Différentes formes d'énergie d'un oscillateur
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harmonique]{\texorpdfstring{\protect\hypertarget{anchor-2}{}{}Différentes
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formes d'énergie d'un oscillateur
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harmonique}{Différentes formes d'énergie d'un oscillateur harmonique}}\label{diffuxe9rentes-formes-duxe9nergie-dun-oscillateur-harmonique}}
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\begin{enumerate}
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\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
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\tightlist
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\item
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Energie cinétique~(due à la vitesse) : \[{E = \frac{1}{2}}mv^{2}\]
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\item
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Energie potentielle gravifique (due à la hauteur)~:
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\[E = \mathit{mgh}\]
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\item
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Energie potentielle élastique due à la compression ou dilatation d'un
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ressort)\[{E = \frac{1}{2}}ky^{2}\]
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\end{enumerate}
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\hypertarget{energie-totale-dun-oscillateur-harmonique}{%
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\subsection[Energie totale d'un oscillateur
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harmonique]{\texorpdfstring{\protect\hypertarget{anchor-3}{}{}Energie
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totale d'un oscillateur
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harmonique}{Energie totale d'un oscillateur harmonique}}\label{energie-totale-dun-oscillateur-harmonique}}
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L'énergie totale mécanique d'un oscillateur harmonique est la somme des
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énergies cinétique et potentielle (gravifique pour un pendule simple et
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élastique pour un ressort horizontal).
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Dans le cas où les frottements sont négligés, l'énergie totale reste
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constante (principe de conservation d'énergie).
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Exprimons mathématiquement ce principe en répondant à la question~:
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En toute généralité, quelle est l'énergie totale d'un oscillateur
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harmonique~ (que ce soit un pendule simple ou un pendule élastique)~?
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Lorsqu'un oscillateur harmonique est à une position extrême (+A ou -A),
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l'énergie cinétique est nulle et l'énergie potentielle maximale (énergie
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potentielle gravifique pour un pendule simple et énergie potentielle
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élastique pour un ressort horizontal).
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De même, pour un oscillateur harmonique (quel qu'il soit), lorsque la
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vitesse est maximale, l'énergie potentielle est nulle (énergie
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potentielle gravifique pour un pendule simple et énergie potentielle
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élastique pour un ressort horizontal). L'énergie totale de l'OH (ET) est
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donc égale à\[{E = \frac{1}{2}}mv_{\text{max}}^{2}\]
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Or nous savons que :
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\[{E_{\text{totale}} = \frac{1}{2}}mv_{\text{max}}^{2}\] avec
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\[{v_{\text{max}} = A}\omega\]. Donc
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\[{E_{\text{totale}} = \frac{1}{2}}m{v_{\text{max}}^{2} = \frac{1}{2}}mA^{2}\omega^{2}\]
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Or \[T\] et \[\omega\] ne varient pas au cours de l'oscillation, elles
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sont constantes.
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Notons\[{k = m}\omega^{2}\] où k est une constante. On
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trouve\[{E_{\text{totale}} = \frac{1}{2}}kA^{2}\]
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qui est donc l'énergie totale d'un oscillateur harmonique.
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\hypertarget{section}{%
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\subsection{}\label{section}}
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\hypertarget{que-repruxe9sente-k}{%
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\subsection[Que représente k~?
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]{\texorpdfstring{\protect\hypertarget{anchor-4}{}{}Que représente k~?
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}{Que représente k~? }}\label{que-repruxe9sente-k}}
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L'énergie totale d'un oscillateur harmonique
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est~\[{E_{\text{totale}} = \frac{1}{2}}kA^{2}\]:
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Que représente physiquement cette constante \[{k = m}\omega^{2}\]?
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Pour un pendule élastique (un ressort)
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k est la constante de raideur du ressort \[{F = k}x\](loi de Hooke) où
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\[x\]~étant l'allongement du ressort à l'équilibre lorsque ce dernier
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est soumis à une force de traction (ou de compression) F.
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(Loi de Hooke)
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Pour un pendule simple k =\[{k = m}\omega^{2}\]
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\[{\omega = 2}\frac{\pi}{T}\]et
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\[{T = 2}\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\text{donc}{\omega^{2} = \frac{4\pi^{2}}{T^{2}} = {4\pi^{2}}}\frac{1}{4\pi^{2}}{\frac{g}{L} = \frac{g}{L}}\]
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à où \[L\]~: longueur du pendule et \[m\]~: masse du pendule
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\hypertarget{evolution-au-cours-du-temps-des-uxe9nergies-cinuxe9tique-potentielle-et-totale.}{%
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\subsection[Evolution au cours du temps des énergies cinétique,
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potentielle et totale.
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]{\texorpdfstring{\protect\includegraphics[width=8.183cm,height=4.821cm]{Pictures/100000010000018B000000E85C3B5046EC401703.png}\protect\hypertarget{anchor-5}{}{}Evolution
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au cours du temps des énergies cinétique, potentielle et totale.
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|
}{Evolution au cours du temps des énergies cinétique, potentielle et totale. }}\label{evolution-au-cours-du-temps-des-uxe9nergies-cinuxe9tique-potentielle-et-totale.}}
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Variation de l'énergie cinétique
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\[E_{c}{{(t)} = \frac{1}{2}}mv{{(t)} = \frac{1}{2}}m\omega^{2}A^{2}\text{cos}^{2}{({\omega{t + \phi}})}\]
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Variation de l'énergie potentielle
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\[E_{p}{{(t)} = \frac{1}{2}}{\mathit{ky}^{2} = \frac{1}{2}}kA^{2}\text{sin}^{2}{({\omega{t + \phi}})}\]
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L'énergie totale reste constante. Elle est égale à la somme des énergies
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cinétique et potentielle.
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\[E_{c}{{(t)} + E_{p}}{{(t)} = E_{t} = \text{constante}}\]
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\hypertarget{energie-dun-oscillateur-harmonique---exercices}{%
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\subsection[Energie d'un oscillateur harmonique -
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Exercices]{\texorpdfstring{\protect\hypertarget{anchor-6}{}{}Energie
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d'un oscillateur harmonique -
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|
Exercices}{Energie d'un oscillateur harmonique - Exercices}}\label{energie-dun-oscillateur-harmonique---exercices}}
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\begin{figure}
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\centering
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\includegraphics[width=5.457cm,height=4.239cm]{Pictures/1000000100000255000001D4999CDF6CC98F91D9.png}
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\caption{}
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\end{figure}
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\hypertarget{exercice-1}{%
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\subsubsection[Exercice
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1]{\texorpdfstring{\protect\hypertarget{anchor-7}{}{}Exercice
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1}{Exercice 1}}\label{exercice-1}}
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Un pendule simple de longueur égale à 40 cm et d'une masse de 50 g est
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lâché lorsqu'il fait un angle de 10° avec la verticale.
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\begin{enumerate}
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\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
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\tightlist
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\item
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Calculez son énergie potentielle maximale.
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\item
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Calculez sa vitesse maximale.
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\item
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|
Calculez sa vitesse à mi-hauteur.
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\item
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Quelle est son énergie totale~?
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\end{enumerate}
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\hypertarget{exercice-2}{%
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\subsubsection[Exercice
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2]{\texorpdfstring{\protect\hypertarget{anchor-8}{}{}Exercice
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2\protect\includegraphics[width=2.688cm,height=4.12cm]{Pictures/100000000000004F00000079BF194595D71050C5.png}}{Exercice 2}}\label{exercice-2}}
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Pour lancer une boule (masse 50 g) de « flipper », on comprime de 10 cm
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un ressort d'une constante de raideur égale à 200 N/m. Quelle sera la
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vitesse de la boule lorsqu'elle aborde le virage au bout d'une course
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rectiligne de 1,5 m après qu'elle ait quitté le ressort. Négligez tout
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frottement !
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\begin{enumerate}
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\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
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\tightlist
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\item
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si le flipper est horizontal ?
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\item
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s'il fait un angle de 5° avec l'horizontale ?
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\end{enumerate}
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\hypertarget{exercice-3}{%
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\subsubsection[Exercice
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3]{\texorpdfstring{\protect\hypertarget{anchor-9}{}{}\protect\includegraphics[width=5.75cm,height=5.539cm]{Pictures/10000001000002CB000002AEBE5814C250A43575.png}Exercice
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3}{Exercice 3}}\label{exercice-3}}
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Une balle de 500g est lancée verticalement vers le haut sur un ressort
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de constante de raideur égale à 32 N/m et de masse négligeable. La
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vitesse de lancer de 2 m/s.
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Le ressort se comprime de 12 cm lorsque la bille atteint sa hauteur
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maximale.
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Quelle est la hauteur atteinte par la bille~?
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\hypertarget{exercice-4}{%
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\subsubsection[Exercice
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4]{\texorpdfstring{\protect\hypertarget{anchor-10}{}{}Exercice
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4}{Exercice 4}}\label{exercice-4}}
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Un fusil de fléchettes comprend un ressort de raideur k = 250 N/m, de
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longueur à vide l0 = 12 cm et qui, comprimé par la fléchette de masse 25
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g, ne mesure plus que l = 4,0 cm.
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\begin{enumerate}
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\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
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\item
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Avec quelle vitesse la fléchette sort-elle du fusil dans le cas d'un
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tir horizontal. Faire le calcul sans tenir compte du frottement entre
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fléchette et fusil.
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\item
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Quelle altitude maximale peut-elle atteindre dans le cas d'un tir
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vertical ? Faire le calcul sans tenir compte du frottement entre
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fléchette et fusil ni de la résistance de l'air.
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\end{enumerate}
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\hypertarget{exercice-5}{%
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\subsubsection[Exercice
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5]{\texorpdfstring{\protect\hypertarget{anchor-11}{}{}Exercice
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5\protect\includegraphics[width=8.373cm,height=5.95cm]{Pictures/10000000000013A000000DF82AB24E2F70D0A5A2.png}}{Exercice 5}}\label{exercice-5}}
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La masse de 2 kg de la figure ci-contre est suspendue au plafond avec un
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ressort de masse négligeable et dont la constante de raideur vaut 200
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N/m. Au départ, le ressort n'est pas étiré ni comprimé. On laisse alors
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tomber la masse sans la pousser. On aura alors un mouvement
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d'oscillation de la masse.
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\begin{enumerate}
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\def\labelenumi{\alph{enumi})}
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\tightlist
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\item
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Quelle sera la distance parcourue par le ressort avant qu'il n'entame
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sa remontée verticale~?
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\item
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Quelle sera la vitesse maximale du ressort~?
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\end{enumerate}
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\begin{figure}
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\centering
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\includegraphics[width=3.17cm,height=4.47cm]{Pictures/1000000000000BC400000F1CA9B74E9E2E8AAFA4.png}
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\caption{}
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|
\end{figure}
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\hypertarget{exercice-6}{%
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\subsubsection[Exercice
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6]{\texorpdfstring{\protect\hypertarget{anchor-12}{}{}Exercice
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|
6}{Exercice 6}}\label{exercice-6}}
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Le pendule de la figure ci-contre est en mouvement harmonique et a une
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vitesse de 5 m/s quand il passe par sa position d'équilibre. Quelle est
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la vitesse du pendule lorsqu'il fait un angle de 10° par rapport à la
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verticale~?
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\includegraphics[width=17.498cm,height=26.033cm]{Pictures/1000000100000264000003450BBDC1031D5BD847.png}
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\includegraphics[width=17.498cm,height=26.174cm]{Pictures/1000000100000264000003457EC57F1EEB41A85F.png}
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\includegraphics[width=17.498cm,height=23.941cm]{Pictures/1000000100000264000003450C3A378F8D932159.png}
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\includegraphics[width=17.498cm,height=24.552cm]{Pictures/100000010000026400000345AA0147C4E87FFA0E.png}
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\includegraphics[width=17.498cm,height=23.941cm]{Pictures/1000000100000264000003455C9DE3ADDE2F2C0A.png}
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\includegraphics[width=17.498cm,height=23.941cm]{Pictures/100000010000026400000345A27521696B730F2D.png}
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\includegraphics[width=18.196cm,height=24.897cm]{Pictures/100000010000026400000345B30134D27454F986.png}
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\includegraphics[width=17.498cm,height=23.941cm]{Pictures/100000010000026400000345CD11555FB30FBF68.png}
|