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COURS-2-Energie-OHEXERCRESOL.tex

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+    pdftitle={Cours de physique - DLPP - 2022},
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+\lhead{Cours de physique}
+\rhead{Oscillateur harmonique}
+\lfoot{En cours de rédaction et correction - ne pas distribuer - \ccbyncsa}
+\rfoot{Page \thepage}
+
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+\title{Cours de physique de $6^e$ secondaire - 2021-2022 \\
+En cours de rédaction et correction - ne pas distribuer \\
+tout commentaire bienvenu par email à \\
+ manueldephysique@educode.be}
+\author{Alexandra David - Corinne Leyssen - Nicolas Pettiaux - Matteo Poncé}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+\doclicenseThis
+
+\setcounter{tocdepth}{10}
+\renewcommand\contentsname{Table des matières}
+\tableofcontents
+
+\hrulefill
+
+\begin{multicols}{2}
+
+\section{Énergie de l’oscillateur harmonique}
+
+\subsection{Vidéos à regarder}
+\begin{enumerate}
+\item \href{https://videos.domainepublic.net/w/k4SYtXTppaRqy5fQQV3foV}{Bilan énergétique de l'oscillateur horizontal}
+\item \href{https://videos.domainepublic.net/w/k19sGJLazDaDXk2Xvz2HpX}{Énergie d'un oscillateur masse-ressort horizontal}
+\end{enumerate}
+
+\subsection{Différentes formes d’énergie d’un oscillateur harmonique}
+\begin{enumerate}
+\item Energie cinétique~(due à la vitesse) :  $E= \frac{1}{2} mv^2$
+\item Energie potentielle gravifique~(due à la hauteur) :  $E=mgh$
+\item Energie potentielle élastique~(due à la compression ou dilatation d’un ressort) $E=\frac{1}{2} ky^2$ 
+\end{enumerate}
+
+\subsection{Energie totale d’un oscillateur harmonique}
+L’énergie totale mécanique d’un oscillateur harmonique est la somme des énergies cinétique et potentielle (gravifique
+pour un pendule simple et élastique pour un ressort horizontal).
+
+Dans le cas où les frottements sont négligés, l’énergie totale reste constante (principe de conservation d’énergie). 
+
+Exprimons mathématiquement ce principe en répondant à la question : 
+
+En toute généralité, quelle est l’énergie totale d’un oscillateur harmonique~ (que ce soit un pendule simple ou un
+pendule élastique) ? 
+
+Lorsqu’un oscillateur harmonique est à une position extrême (+A ou  -A), l’énergie cinétique est nulle et l’énergie
+potentielle maximale (énergie potentielle gravifique pour un pendule simple et énergie potentielle élastique pour un
+ressort horizontal).
+
+De même, pour un oscillateur harmonique (quel qu’il soit), lorsque la vitesse est maximale, l’énergie potentielle est
+nulle (énergie potentielle gravifique pour un pendule simple et énergie potentielle élastique pour un ressort
+horizontal). L’énergie totale de l’OH ($E_T$) est donc égale à $E=\frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2$   
+
+Or nous savons que  :  $E_{\text{T}}=\frac{1}{2}m v_{\text{max}}^2$  avec   $v_{\text{max}}=A\omega $. Donc 
+$E_{\text{T}}=\frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2=\frac{1}{2}mA^2\omega ^2$
+
+Or  $T$  et  $\omega $  ne varient pas au cours de l’oscillation, elles sont constantes.
+
+Notons $k=m\omega ^2$ où k est une constante. On trouve $E_{\text{totale}}=\frac{1}{2}kA^2$ 
+qui est donc l’énergie totale d’un oscillateur harmonique. 
+
+
+\subsection{Que représente k ? }
+L’énergie totale d’un oscillateur harmonique est~ $E_{\text{T}}=\frac 1 2kA^2$ : 
+
+Que représente physiquement cette constante  $k=m\omega ^2$?
+
+Pour un pendule élastique (un ressort)
+
+k est la constante de raideur du ressort  $F=kx$(loi de Hooke) où  $x$~étant l’allongement du ressort à l’équilibre
+lorsque ce dernier est soumis à une force de traction (ou de compression) F.
+
+Pour un pendule simple $k=m\omega ^2$  $\omega =2\frac{\pi } T$ et  $T=2\pi \sqrt{\frac L g}$. Don $\omega
+^2=\frac{4\pi ^2}{T^2}=4\pi ^2\frac 1{4\pi ^2}\frac g L=\frac g L$
+et  $\omega=\sqrt{\frac{g}{L}}$  où  $L$ est longueur du pendule et  $m$, sa masse.
+
+\subsection[Évolution au cours du temps des énergies cinétique, potentielle et totale. ]{Évolution au cours du temps des
+énergies cinétique, potentielle et totale. }
+\begin{center}
+\begin{minipage}{8.89cm}
+
+
+\includegraphics[width=8cm]{COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img/COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img001.png}
+On remarque que lorsque l’énergie cinétique est maximale alors l’énergie potentielle
+est nulle et vice versa. Il y a constamment conversion de l’énergie cinétique en potentielle et vice versa, de telle
+sorte que l’énergie totale reste constante. 
+\end{minipage}
+\end{center}
+
+Variation de l’énergie cinétique   $E_c(t)=\frac{1}{2}mv(t)=\frac{1}{2}m\omega ^2A^2\text{cos}^2(\omega t+\phi )$
+
+Variation de l’énergie potentielle  $E_p(t)=\frac{1}{2}\mathit{ky}^2=\frac{1}{2}kA^2\text{sin}^2(\omega t+\phi )$
+
+L’énergie totale reste constante. Elle est égale à la somme des énergies cinétique et potentielle. 
+
+\begin{equation*}
+E_c(t)+E_p(t)=E_t=\text{constante}
+\end{equation*}
+
+
+\subsection{Énergie d’un oscillateur harmonique - exercices}
+
+\begin{center}
+\begin{minipage}{5.992cm}
+ \includegraphics[width=5.457cm,height=4.239cm]{COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img/COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img002.png} 
+\end{minipage}
+\end{center}
+\subsubsection{Exercice 1}
+Un pendule simple de longueur égale à 40 cm et d’une masse de 50 g est lâché lorsqu’il fait un angle de 10° avec la
+verticale. 
+
+\begin{enumerate}
+\item Calculez son énergie potentielle maximale.
+\item Calculez sa vitesse maximale.
+\item Calculez sa vitesse à mi-hauteur. 
+\item Quelle est son énergie totale ? 
+\end{enumerate}
+\subsubsection[Exercice 2]{Exercice 2}
+\begin{center}
+\begin{minipage}{3.81cm}
+ \includegraphics[width=3cm]{COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img/COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img003.png} 
+\end{minipage}
+\end{center}
+Pour lancer une boule (masse 50 g) de « flipper », on comprime de 10 cm un ressort d’une constante de  raideur égale à
+200 N/m. Quelle sera la vitesse de la boule lorsqu’elle aborde le virage au bout d’une course rectiligne de 1,5 m après
+qu’elle ait quitté le ressort. Négligez tout frottement !
+
+\begin{enumerate}
+\item si le flipper est horizontal ? 
+\item s’il fait un angle de 5° avec l’horizontale ?
+\end{enumerate}
+\subsubsection[Exercice 3]{Exercice 3}
+\begin{center}
+\begin{minipage}{6.276cm}
+ \includegraphics[width=5.75cm,height=5.539cm]{COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img/COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img004.png} 
+\end{minipage}
+\end{center}
+Une balle de 500g est lancée verticalement vers le haut sur un ressort de constante de raideur égale à 32 N/m et de
+masse négligeable. La vitesse de lancer de 2 m/s.
+
+Le ressort se comprime de 12 cm lorsque la bille atteint sa hauteur maximale.
+
+Quelle est la hauteur atteinte par la bille ? 
+
+\subsubsection{Exercice 4}
+Un fusil de fléchettes comprend un ressort de raideur k = 250 N/m, de longueur à vide l0 = 12 cm et qui, comprimé par la
+fléchette de masse 25 g, ne mesure plus que l = 4,0 cm.
+
+\begin{enumerate}
+\item Avec quelle vitesse la fléchette sort-elle du fusil dans le cas d’un tir horizontal. Faire le calcul sans tenir
+compte du frottement entre fléchette et fusil.
+\item Quelle altitude maximale peut-elle atteindre dans le cas d’un tir vertical ? Faire le calcul sans tenir compte du
+frottement entre fléchette et fusil ni de la résistance de l’air.
+
+\end{enumerate}
+\subsubsection[Exercice 5]{Exercice 5}
+\begin{center}
+\begin{minipage}{8.876cm}
+ \includegraphics[width=8cm]{COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img/COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img005.png} 
+\end{minipage}
+\end{center}
+La masse de 2 kg de la figure ci-contre est  suspendue au plafond avec un ressort de masse négligeable et dont la
+constante de raideur vaut 200 N/m. Au départ, le ressort n’est pas étiré ni comprimé. On laisse alors tomber la masse
+sans la pousser. On aura alors un mouvement d’oscillation de la masse. 
+
+\begin{enumerate}
+\item Quelle sera la distance parcourue par le ressort avant qu’il n’entame sa remontée verticale ? 
+\item Quelle sera la vitesse maximale du ressort ?  
+\end{enumerate}
+
+
+\begin{center}
+\begin{minipage}{3.817cm}
+ \includegraphics[width=3cm]{COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img/COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img006.png} 
+\end{minipage}
+\end{center}
+\subsubsection{Exercice 6}
+Le pendule de la figure ci-contre est en mouvement harmonique et a une vitesse de 5 m/s quand il passe par sa position
+d’équilibre. Quelle est la vitesse du pendule lorsqu’il fait un angle de 10° par rapport à la verticale ? 
+
+\end{multicols}
+
+
+\section{Résolutions }
+
+ \includegraphics[width=15cm]{COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img/COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img007.png} 
+
+ \includegraphics[width=15cm]{COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img/COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img008.png} 
+
+ \includegraphics[width=15cm]{COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img/COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img009.png} 
+
+ \includegraphics[width=15cm]{COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img/COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img010.png} 
+
+ \includegraphics[width=15cm]{COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img/COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img011.png} 
+
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+
+ \includegraphics[width=15cm]{COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img/COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img013.png} 
+
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