manuelsdephysique6e/COURS_02-Energie-OH.tex

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\begin{multicols}{2}
\section{Énergie de loscillateur harmonique}
\subsection{Vidéos à regarder}
\begin{enumerate}
\item \href{https://videos.domainepublic.net/w/k4SYtXTppaRqy5fQQV3foV}{Bilan énergétique de l'oscillateur horizontal}
\item \href{https://videos.domainepublic.net/w/k19sGJLazDaDXk2Xvz2HpX}{Énergie d'un oscillateur masse-ressort horizontal}
\end{enumerate}
\subsection{Différentes formes dénergie dun oscillateur harmonique}
\begin{enumerate}
\item Energie cinétique~(due à la vitesse) : $E= \frac{1}{2} mv^2$
\item Energie potentielle gravifique~(due à la hauteur) : $E=mgh$
\item Energie potentielle élastique~(due à la compression ou dilatation dun ressort) $E=\frac{1}{2} ky^2$
\end{enumerate}
\subsection{Energie totale dun oscillateur harmonique}
Lénergie totale mécanique dun oscillateur harmonique est la somme des énergies cinétique et potentielle (gravifique
pour un pendule simple et élastique pour un ressort horizontal).
Dans le cas où les frottements sont négligés, lénergie totale reste constante (principe de conservation dénergie).
Exprimons mathématiquement ce principe en répondant à la question :
En toute généralité, quelle est lénergie totale dun oscillateur harmonique~ (que ce soit un pendule simple ou un
pendule élastique) ?
Lorsquun oscillateur harmonique est à une position extrême (+A ou -A), lénergie cinétique est nulle et lénergie
potentielle maximale (énergie potentielle gravifique pour un pendule simple et énergie potentielle élastique pour un
ressort horizontal).
De même, pour un oscillateur harmonique (quel quil soit), lorsque la vitesse est maximale, lénergie potentielle est
nulle (énergie potentielle gravifique pour un pendule simple et énergie potentielle élastique pour un ressort
horizontal). Lénergie totale de lOH ($E_T$) est donc égale à $E=\frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2$
Or nous savons que : $E_{\text{T}}=\frac{1}{2}m v_{\text{max}}^2$ avec $v_{\text{max}}=A\omega $. Donc
$E_{\text{T}}=\frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2=\frac{1}{2}mA^2\omega ^2$
Or $T$ et $\omega $ ne varient pas au cours de loscillation, elles sont constantes.
Notons $k=m\omega ^2$ où k est une constante. On trouve $E_{\text{totale}}=\frac{1}{2}kA^2$
qui est donc lénergie totale dun oscillateur harmonique.
\subsection{Que représente k ? }
Lénergie totale dun oscillateur harmonique est~ $E_{\text{T}}=\frac 1 2kA^2$ :
Que représente physiquement cette constante $k=m\omega ^2$?
Pour un pendule élastique (un ressort)
k est la constante de raideur du ressort $F=kx$(loi de Hooke) où $x$~étant lallongement du ressort à léquilibre
lorsque ce dernier est soumis à une force de traction (ou de compression) F.
Pour un pendule simple $k=m\omega ^2$ $\omega =2\frac{\pi } T$ et $T=2\pi \sqrt{\frac L g}$. Don $\omega
^2=\frac{4\pi ^2}{T^2}=4\pi ^2\frac 1{4\pi ^2}\frac g L=\frac g L$
et $\omega=\sqrt{\frac{g}{L}}$$L$ est longueur du pendule et $m$, sa masse.
\subsection[Évolution au cours du temps des énergies cinétique, potentielle et totale. ]{Évolution au cours du temps des
énergies cinétique, potentielle et totale. }
\begin{center}
\begin{minipage}{8.89cm}
\includegraphics[width=8cm]{COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img/COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img001.png}
On remarque que lorsque lénergie cinétique est maximale alors lénergie potentielle
est nulle et vice versa. Il y a constamment conversion de lénergie cinétique en potentielle et vice versa, de telle
sorte que lénergie totale reste constante.
\end{minipage}
\end{center}
Variation de lénergie cinétique $E_c(t)=\frac{1}{2}mv(t)=\frac{1}{2}m\omega ^2A^2\text{cos}^2(\omega t+\phi )$
Variation de lénergie potentielle $E_p(t)=\frac{1}{2}\mathit{ky}^2=\frac{1}{2}kA^2\text{sin}^2(\omega t+\phi )$
Lénergie totale reste constante. Elle est égale à la somme des énergies cinétique et potentielle.
\begin{equation*}
E_c(t)+E_p(t)=E_t=\text{constante}
\end{equation*}
\subsection{Exercices}
\subsubsection*{Exercice 1}
Un pendule simple de longueur égale à 40 cm et dune masse de 50 g est lâché lorsquil fait un angle de 10° avec la
verticale.
\begin{center}
\begin{minipage}{5.992cm}
\includegraphics[width=5.457cm,height=4.239cm]{COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img/COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img002.png}
\end{minipage}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Calculez son énergie potentielle maximale.
\item Calculez sa vitesse maximale.
\item Calculez sa vitesse à mi-hauteur.
\item Quelle est son énergie totale ?
\end{enumerate}
\subsubsection*[Exercice 2]{Exercice 2}
\begin{center}
\begin{minipage}{3.81cm}
\includegraphics[width=3cm]{COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img/COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img003.png}
\end{minipage}
\end{center}
Pour lancer une boule (masse 50 g) de « flipper », on comprime de 10 cm un ressort dune constante de raideur égale à
200 N/m. Quelle sera la vitesse de la boule lorsquelle aborde le virage au bout dune course rectiligne de 1,5 m après
quelle ait quitté le ressort. Négligez tout frottement !
\begin{enumerate}
\item si le flipper est horizontal ?
\item sil fait un angle de 5° avec lhorizontale ?
\end{enumerate}
\subsubsection*[Exercice 3]{Exercice 3}
\begin{center}
\begin{minipage}{6.276cm}
\includegraphics[width=5.75cm,height=5.539cm]{COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img/COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img004.png}
\end{minipage}
\end{center}
Une balle de 500g est lancée verticalement vers le haut sur un ressort de constante de raideur égale à 32 N/m et de
masse négligeable. La vitesse de lancer de 2 m/s.
Le ressort se comprime de 12 cm lorsque la bille atteint sa hauteur maximale.
Quelle est la hauteur atteinte par la bille ?
\subsubsection*{Exercice 4}
Un fusil de fléchettes comprend un ressort de raideur k = 250 N/m, de longueur à vide l0 = 12 cm et qui, comprimé par la
fléchette de masse 25 g, ne mesure plus que l = 4,0 cm.
\begin{enumerate}
\item Avec quelle vitesse la fléchette sort-elle du fusil dans le cas dun tir horizontal. Faire le calcul sans tenir
compte du frottement entre fléchette et fusil.
\item Quelle altitude maximale peut-elle atteindre dans le cas dun tir vertical ? Faire le calcul sans tenir compte du
frottement entre fléchette et fusil ni de la résistance de lair.
\end{enumerate}
\subsubsection*[Exercice 5]{Exercice 5}
\begin{center}
\begin{minipage}{8.876cm}
\includegraphics[width=8cm]{COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img/COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img005.png}
\end{minipage}
\end{center}
La masse de 2 kg de la figure ci-contre est suspendue au plafond avec un ressort de masse négligeable et dont la
constante de raideur vaut 200 N/m. Au départ, le ressort nest pas étiré ni comprimé. On laisse alors tomber la masse
sans la pousser. On aura alors un mouvement doscillation de la masse.
\begin{enumerate}
\item Quelle sera la distance parcourue par le ressort avant quil nentame sa remontée verticale ?
\item Quelle sera la vitesse maximale du ressort ?
\end{enumerate}
\begin{center}
\begin{minipage}{3.817cm}
\includegraphics[width=3cm]{COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img/COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img006.png}
\end{minipage}
\end{center}
\subsubsection*{Exercice 6}
Le pendule de la figure ci-contre est en mouvement harmonique et a une vitesse de 5 m/s quand il passe par sa position
déquilibre. Quelle est la vitesse du pendule lorsquil fait un angle de 10° par rapport à la verticale ?
\end{multicols}
\subsection{Résolutions }
\includegraphics[width=15cm]{COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img/COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img007.png}
\includegraphics[width=15cm]{COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img/COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img008.png}
\includegraphics[width=15cm]{COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img/COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img009.png}
\includegraphics[width=15cm]{COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img/COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img010.png}
\includegraphics[width=15cm]{COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img/COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img011.png}
\includegraphics[width=15cm]{COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img/COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img012.png}
\includegraphics[width=15cm]{COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img/COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img013.png}
\includegraphics[width=15cm]{COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img/COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img014.png}