mes-scripts-de-ml/01-fondamentaux/02-descente_gradient.py

import time, math
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

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# 02-descente_gradient.py
# @title: Fondamentaux - Apprentissage par descente de gradient
# @project: Mes scripts de ML
# @lang: fr
# @authors: Philippe Roy <philippe.roy@ac-grenoble.fr>
# @copyright: Copyright (C) 2023 Philippe Roy
# @license: GNU GPL
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# Commandes NumPy :
# - np.array : créer un tableau à partir d'une liste de listes
# - np.c_ : concatène les colonnes des tableaux
# - np.ones : créer un tableau de 1
# - np.linalg.inv : inversion de matrice
# - .T : transposé de matrice
# - .dot : produit de matrice
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# Initialisation
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# Init du temps
t_debut = time.time()

# Init des plots
fig = plt.figure(figsize=(15, 5))
fig.suptitle("Descente de gradient")
donnees_ax = fig.add_subplot(141) # Observations : x1 et cibles : y
model_ax = fig.add_subplot(142) # Modèle : theta0, theta1
couts_ax = fig.add_subplot(143) # Coûts : RMSE, MSE, ... 
app_ax = fig.add_subplot(144) # Taux d'apprentissage : eta

i_list=[] # Itération
couts_2d=[]
couts_delta=[]
couts_mse=[] # MSE
couts_rmse=[] # RMSE
eta_list=[] # Taux d'apprentissage

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# Observations
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# Observations d'apprentisage
m = 1000 # Nombre d'observations
bg = 1 # Quantité du bruit gaussien
x1 = 2*np.random.rand(m, 1) # Liste des observations x1
y = 4 + 3*x1 + bg * np.random.rand(m, 1) # Liste des cibles y
X = np.c_[np.ones((m, 1)), x1] # Matrice des observations, avec x0=1
donnees_ax.plot(x1, y, 'b.', label="Observations")
exact_solution = np.linalg.inv(X.T.dot(X)).dot(X.T).dot(y) # Equation normale

# Nouvelles observations
x1_new=np.array([[0], [2]])
X_new = np.c_[np.ones((2, 1)), x1_new] # Matrice des observations, avec x0=1

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# Phases d'apprentissage et d'inférence
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# Phase d'apprentissage par descente de gradient
# - theta : vecteur paramètres du modèle
# - gradient : gradient du coût en fonction de theta
# - eta : taux d'appentissage

eta = 0.01 # Taux d'appentissage (valeur par défaut : 0.1, hyperparamètre)
n = 5000 # Nombre d'itérations (valeur par défaut : 1000 , hyperparamètre)

# Calcul du coût (Mean Square Error (MSE))
def mse(theta):
    return np.sum((np.dot(X, theta) - y)**2)/m
def rmse(theta):
    return math.sqrt(np.sum((np.dot(X, theta) - y)**2)/m)

# Initialisation aléatoire
theta= np.random.randn(2,1)
theta0=[theta[0]]
theta1=[theta[1]]

# Descente du gradient
for i in range(n):
    i_list.append(i)

    # Calcul du gradient du pas
    gradients = 2/m * X.T.dot(X.dot(theta) - y)
    eta_list.append(eta)
    theta = theta - eta *  gradients
    theta0.append(theta[0])
    theta1.append(theta[1])

    # Calcul de l'erreur avec la norme du vecteur 2D (Objectif -> Theta) dans le plan (theta0, theta1)
    couts_2d.append(math.sqrt((theta[0]-exact_solution[0])**2+(theta[1]-exact_solution[1])**2))

    # Calcul du RMSE à la main :
    # FIXME : étrange, je n'ai pas le même résultat qu'avec  'couts_rmse.append(rmse(theta))'
    delta = 0
    for j in range (m):
        delta= delta +((theta[0] + theta[1]*x1[j])-(exact_solution[0] + exact_solution[1]*x1[j]))**2
    delta = math.sqrt(delta/m)
    couts_delta.append(delta)

    # Calcul du RMSE et du MSE par les matrices
    couts_mse.append(mse(theta))
    couts_rmse.append(rmse(theta))

    # Prédiction du pas
    # Phase d'inférence (dernier pas)
    y_predict=X_new.dot(theta)
    donnees_ax.plot(x1_new, y_predict, 'c-', linewidth=0.5)

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# Résultats
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# Cartes des coûts (cc)
# FIXME : la carte des coûts ne correspond au RMSE calculé 
# resol_cc=0.000000001
# resol_cc=0.1
# theta0_cc=np.linspace(theta[0]-resol_cc, theta[0]+resol_cc, 100).reshape(-1, 1)
# theta1_cc=np.linspace(theta[1]-resol_cc, theta[1]+resol_cc, 100).reshape(-1, 1)
theta0_cc=np.linspace(-5, 7, 100).reshape(-1, 1)
theta1_cc=np.linspace(-5, 7, 100).reshape(-1, 1)
theta0_cc_mg, theta1_cc_mg = np.meshgrid(theta0_cc, theta1_cc)
r, c = theta0_cc_mg.shape
rmse_cc = np.array([[0 for _ in range(c)] for _ in range(r)])
for i in range(r):
    for j in range(c):
        rmse_cc[i,j] = round(float(rmse(np.array([theta0_cc_mg[i,j], theta1_cc_mg[i,j]]))),3)

# Plot des données
donnees_ax.set_title("Données")
donnees_ax.plot(x1_new, y_predict, 'r-', label="Prédictions")
donnees_ax.set_xlabel(r'$x_1$')
donnees_ax.set_ylabel(r'$y$', rotation=0)
donnees_ax.legend()

# Plot des paramètres du modèle
model_ax.set_title("Paramètres du modèle")
# model_ax.set(xlim=(theta[0]-resol_cc, theta[0]+resol_cc), ylim=(theta[1]-resol_cc, theta[1]+resol_cc))
model_ax.plot(theta0, theta1, '.', ls=':', color='r', fillstyle='none', label="Chemin", markevery=10)
model_ax.plot(exact_solution[0], exact_solution[1], "o", color='k', fillstyle='full',  label="Equation normale")
model_ax.set_xlabel(r'$\theta_0$')
model_ax.set_ylabel(r'$\theta_1  $', rotation=0)
# levels = np.arange(20, 200, 0.25)
# cc=model_ax.contour(theta0_mg, theta1_mg, carte_cout, levels)
# model_ax.clabel(cc, inline=True, fontsize=10)

# FIXME : la carte des coûts ne correspond au RMSE calculé 
# for i in range (0, 5000, 10): # Texte sur les points
#     model_ax.text(theta0[i], theta1[i], str(i)+" - "+str(round(float(rmse(np.array([theta0[i],theta1[i]]))),3)), va='center', ha='center')
# cc_img = model_ax.pcolor(theta0_cc_mg, theta1_cc_mg, rmse_cc)
# fig.colorbar(cc_img, ax=model_ax)

model_ax.legend()

# Plot du coût
couts_ax.set_title("Coûts")
couts_ax.plot(i_list, couts_2d, '.', ls=':', color='c', fillstyle='none', label="Coûts vecteur 2D", markevery=10)
couts_ax.plot(i_list, couts_delta, '.', ls=':', color='r', fillstyle='none', label="Coûts RMSE à la main", markevery=10)
couts_ax.plot(i_list, couts_mse, '.', ls=':', color='b', fillstyle='none', label="Coûts MSE", markevery=10)
couts_ax.plot(i_list, couts_rmse, '.', ls=':', color='g', fillstyle='none', label="Coûts RMSE", markevery=10)
couts_ax.set_xlabel(r'$i$')
couts_ax.set_ylabel("Coûts")
couts_ax.legend()

# Plot du taux d'apprentissage
app_ax.set_title("Taux d'apprentissage")
app_ax.plot(i_list, eta_list, '.', ls=':', color='b', fillstyle='none', label="Taux d'apprentissage", markevery=10)
app_ax.set_xlabel(r'$i$')
app_ax.set_ylabel(r'$\eta$', rotation=0)
# app_ax.legend()

plt.show()

# Performances
print ("Theta th : theta0 : "+str(4)+"     ; theta1 : "+str(3))
print ("Theta    : theta0 : "+str(round(float(theta[0]),3))+" ; theta1 : "+str(round(float(theta[1]),3)))
print ("Erreurs  : theta0 : "+str(round(float(theta[0]-4),3))+" ; theta1 : "+str(round(float(theta[1]-3),3)))
print ("Coûts RMSE : "+str(round(float(rmse(theta)),3)))
print ("Temps    : "+str(time.time()-t_debut))