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\begin{multicols}{2}
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\section{Énergie de l’oscillateur harmonique}
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\subsection{Vidéos à regarder}
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\begin{enumerate}
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\item \href{https://videos.domainepublic.net/w/k4SYtXTppaRqy5fQQV3foV}{Bilan énergétique de l'oscillateur horizontal}
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\item \href{https://videos.domainepublic.net/w/k19sGJLazDaDXk2Xvz2HpX}{Énergie d'un oscillateur masse-ressort horizontal}
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\end{enumerate}
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\subsection{Différentes formes d’énergie d’un oscillateur harmonique}
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\begin{enumerate}
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\item Energie cinétique~(due à la vitesse) : $E= \frac{1}{2} mv^2$
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\item Energie potentielle gravifique~(due à la hauteur) : $E=mgh$
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\item Energie potentielle élastique~(due à la compression ou dilatation d’un ressort) $E=\frac{1}{2} ky^2$
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\end{enumerate}
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\subsection{Energie totale d’un oscillateur harmonique}
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L’énergie totale mécanique d’un oscillateur harmonique est la somme des énergies cinétique et potentielle (gravifique
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pour un pendule simple et élastique pour un ressort horizontal).
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Dans le cas où les frottements sont négligés, l’énergie totale reste constante (principe de conservation d’énergie).
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Exprimons mathématiquement ce principe en répondant à la question :
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En toute généralité, quelle est l’énergie totale d’un oscillateur harmonique~ (que ce soit un pendule simple ou un
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pendule élastique) ?
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Lorsqu’un oscillateur harmonique est à une position extrême (+A ou -A), l’énergie cinétique est nulle et l’énergie
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potentielle maximale (énergie potentielle gravifique pour un pendule simple et énergie potentielle élastique pour un
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ressort horizontal).
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De même, pour un oscillateur harmonique (quel qu’il soit), lorsque la vitesse est maximale, l’énergie potentielle est
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nulle (énergie potentielle gravifique pour un pendule simple et énergie potentielle élastique pour un ressort
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horizontal). L’énergie totale de l’OH ($E_T$) est donc égale à $E=\frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2$
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Or nous savons que : $E_{\text{T}}=\frac{1}{2}m v_{\text{max}}^2$ avec $v_{\text{max}}=A\omega $. Donc
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$E_{\text{T}}=\frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2=\frac{1}{2}mA^2\omega ^2$
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Or $T$ et $\omega $ ne varient pas au cours de l’oscillation, elles sont constantes.
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Notons $k=m\omega ^2$ où k est une constante. On trouve $E_{\text{totale}}=\frac{1}{2}kA^2$
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qui est donc l’énergie totale d’un oscillateur harmonique.
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\subsection{Que représente k ? }
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L’énergie totale d’un oscillateur harmonique est~ $E_{\text{T}}=\frac 1 2kA^2$ :
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Que représente physiquement cette constante $k=m\omega ^2$?
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Pour un pendule élastique (un ressort)
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k est la constante de raideur du ressort $F=kx$(loi de Hooke) où $x$~étant l’allongement du ressort à l’équilibre
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lorsque ce dernier est soumis à une force de traction (ou de compression) F.
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Pour un pendule simple $k=m\omega ^2$ $\omega =2\frac{\pi } T$ et $T=2\pi \sqrt{\frac L g}$. Don $\omega
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^2=\frac{4\pi ^2}{T^2}=4\pi ^2\frac 1{4\pi ^2}\frac g L=\frac g L$
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et $\omega=\sqrt{\frac{g}{L}}$ où $L$ est longueur du pendule et $m$, sa masse.
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\subsection[Évolution au cours du temps des énergies cinétique, potentielle et totale. ]{Évolution au cours du temps des
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énergies cinétique, potentielle et totale. }
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\begin{center}
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\begin{minipage}{8.89cm}
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\includegraphics[width=8cm]{COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img/COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img001.png}
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On remarque que lorsque l’énergie cinétique est maximale alors l’énergie potentielle
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est nulle et vice versa. Il y a constamment conversion de l’énergie cinétique en potentielle et vice versa, de telle
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sorte que l’énergie totale reste constante.
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\end{minipage}
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\end{center}
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Variation de l’énergie cinétique $E_c(t)=\frac{1}{2}mv(t)=\frac{1}{2}m\omega ^2A^2\text{cos}^2(\omega t+\phi )$
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Variation de l’énergie potentielle $E_p(t)=\frac{1}{2}\mathit{ky}^2=\frac{1}{2}kA^2\text{sin}^2(\omega t+\phi )$
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L’énergie totale reste constante. Elle est égale à la somme des énergies cinétique et potentielle.
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\begin{equation*}
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E_c(t)+E_p(t)=E_t=\text{constante}
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\end{equation*}
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\subsection{Exercices}
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\subsubsection{Exercice 1}
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Un pendule simple de longueur égale à 40 cm et d’une masse de 50 g est lâché lorsqu’il fait un angle de 10° avec la
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verticale.
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\begin{center}
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\begin{minipage}{5.992cm}
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\includegraphics[width=5.457cm,height=4.239cm]{COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img/COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img002.png}
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\end{minipage}
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\end{center}
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\begin{enumerate}
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\item Calculez son énergie potentielle maximale.
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\item Calculez sa vitesse maximale.
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\item Calculez sa vitesse à mi-hauteur.
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\item Quelle est son énergie totale ?
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\end{enumerate}
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\subsubsection{Exercice 2}
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\begin{center}
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\begin{minipage}{3.81cm}
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\includegraphics[width=3cm]{COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img/COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img003.png}
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\end{minipage}
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\end{center}
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Pour lancer une boule (masse 50 g) de « flipper », on comprime de 10 cm un ressort d’une constante de raideur égale à
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200 N/m. Quelle sera la vitesse de la boule lorsqu’elle aborde le virage au bout d’une course rectiligne de 1,5 m après
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qu’elle ait quitté le ressort. Négligez tout frottement !
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\begin{enumerate}
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\item si le flipper est horizontal ?
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\item s’il fait un angle de 5° avec l’horizontale ?
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\end{enumerate}
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\subsubsection{Exercice 3}
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\begin{center}
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\begin{minipage}{6.276cm}
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\includegraphics[width=5.75cm,height=5.539cm]{COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img/COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img004.png}
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\end{minipage}
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\end{center}
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Une balle de 500g est lancée verticalement vers le haut sur un ressort de constante de raideur égale à 32 N/m et de
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masse négligeable. La vitesse de lancer de 2 m/s.
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Le ressort se comprime de 12 cm lorsque la bille atteint sa hauteur maximale.
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Quelle est la hauteur atteinte par la bille ?
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\subsubsection{Exercice 4}
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Un fusil de fléchettes comprend un ressort de raideur k = 250 N/m, de longueur à vide l0 = 12 cm et qui, comprimé par la
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fléchette de masse 25 g, ne mesure plus que l = 4,0 cm.
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\begin{enumerate}
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\item Avec quelle vitesse la fléchette sort-elle du fusil dans le cas d’un tir horizontal. Faire le calcul sans tenir
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compte du frottement entre fléchette et fusil.
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\item Quelle altitude maximale peut-elle atteindre dans le cas d’un tir vertical ? Faire le calcul sans tenir compte du
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frottement entre fléchette et fusil ni de la résistance de l’air.
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\end{enumerate}
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\subsubsection{Exercice 5}
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\begin{center}
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\begin{minipage}{8.876cm}
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\includegraphics[width=8cm]{COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img/COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img005.png}
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\end{minipage}
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\end{center}
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La masse de 2 kg de la figure ci-contre est suspendue au plafond avec un ressort de masse négligeable et dont la
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constante de raideur vaut 200 N/m. Au départ, le ressort n’est pas étiré ni comprimé. On laisse alors tomber la masse
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sans la pousser. On aura alors un mouvement d’oscillation de la masse.
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\begin{enumerate}
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\item Quelle sera la distance parcourue par le ressort avant qu’il n’entame sa remontée verticale ?
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\item Quelle sera la vitesse maximale du ressort ?
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\end{enumerate}
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\begin{center}
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\begin{minipage}{3.817cm}
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\includegraphics[width=3cm]{COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img/COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img006.png}
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\end{minipage}
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\end{center}
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\subsubsection{Exercice 6}
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Le pendule de la figure ci-contre est en mouvement harmonique et a une vitesse de 5 m/s quand il passe par sa position
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d’équilibre. Quelle est la vitesse du pendule lorsqu’il fait un angle de 10° par rapport à la verticale ?
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\end{multicols}
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\subsection{Résolutions }
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\includegraphics[width=15cm]{COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img/COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img007.png}
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\includegraphics[width=15cm]{COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img/COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img008.png}
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\includegraphics[width=15cm]{COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img/COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img009.png}
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\includegraphics[width=15cm]{COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img/COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img010.png}
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\includegraphics[width=15cm]{COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img/COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img011.png}
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\includegraphics[width=15cm]{COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img/COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img012.png}
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\includegraphics[width=15cm]{COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img/COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img013.png}
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\includegraphics[width=15cm]{COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img/COURS2EnergieOHEXERCRESOL-img014.png}
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