generated from educode/manuels
268 lines
10 KiB
TeX
268 lines
10 KiB
TeX
\hypertarget{uxe9nergie-de-loscillateur-harmonique}{%
|
|
\section[Énergie de l'oscillateur
|
|
harmonique]{\texorpdfstring{\protect\hypertarget{anchor}{}{}Énergie de
|
|
l'oscillateur
|
|
harmonique}{Énergie de l'oscillateur harmonique}}\label{uxe9nergie-de-loscillateur-harmonique}}
|
|
|
|
\hypertarget{viduxe9os-uxe0-regarder-sur-youtube}{%
|
|
\subsection[Vidéos à regarder sur
|
|
YouTube]{\texorpdfstring{\protect\hypertarget{anchor-1}{}{}Vidéos à
|
|
regarder sur
|
|
YouTube}{Vidéos à regarder sur YouTube}}\label{viduxe9os-uxe0-regarder-sur-youtube}}
|
|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
|
|
\tightlist
|
|
\item
|
|
\href{https://youtu.be/sXIMn32DK7A}{\emph{https://youtu.be/sXIMn32DK7A}}
|
|
\item
|
|
\href{https://youtu.be/NrSj516RLQM}{\emph{https://youtu.be/NrSj516RLQM}}
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\hypertarget{diffuxe9rentes-formes-duxe9nergie-dun-oscillateur-harmonique}{%
|
|
\subsection[Différentes formes d'énergie d'un oscillateur
|
|
harmonique]{\texorpdfstring{\protect\hypertarget{anchor-2}{}{}Différentes
|
|
formes d'énergie d'un oscillateur
|
|
harmonique}{Différentes formes d'énergie d'un oscillateur harmonique}}\label{diffuxe9rentes-formes-duxe9nergie-dun-oscillateur-harmonique}}
|
|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
|
|
\tightlist
|
|
\item
|
|
Energie cinétique~(due à la vitesse) : \[{E = \frac{1}{2}}mv^{2}\]
|
|
\item
|
|
Energie potentielle gravifique (due à la hauteur)~:
|
|
\[E = \mathit{mgh}\]
|
|
\item
|
|
Energie potentielle élastique due à la compression ou dilatation d'un
|
|
ressort)\[{E = \frac{1}{2}}ky^{2}\]
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\hypertarget{energie-totale-dun-oscillateur-harmonique}{%
|
|
\subsection[Energie totale d'un oscillateur
|
|
harmonique]{\texorpdfstring{\protect\hypertarget{anchor-3}{}{}Energie
|
|
totale d'un oscillateur
|
|
harmonique}{Energie totale d'un oscillateur harmonique}}\label{energie-totale-dun-oscillateur-harmonique}}
|
|
|
|
L'énergie totale mécanique d'un oscillateur harmonique est la somme des
|
|
énergies cinétique et potentielle (gravifique pour un pendule simple et
|
|
élastique pour un ressort horizontal).
|
|
|
|
Dans le cas où les frottements sont négligés, l'énergie totale reste
|
|
constante (principe de conservation d'énergie).
|
|
|
|
Exprimons mathématiquement ce principe en répondant à la question~:
|
|
|
|
En toute généralité, quelle est l'énergie totale d'un oscillateur
|
|
harmonique~ (que ce soit un pendule simple ou un pendule élastique)~?
|
|
|
|
Lorsqu'un oscillateur harmonique est à une position extrême (+A ou -A),
|
|
l'énergie cinétique est nulle et l'énergie potentielle maximale (énergie
|
|
potentielle gravifique pour un pendule simple et énergie potentielle
|
|
élastique pour un ressort horizontal).
|
|
|
|
De même, pour un oscillateur harmonique (quel qu'il soit), lorsque la
|
|
vitesse est maximale, l'énergie potentielle est nulle (énergie
|
|
potentielle gravifique pour un pendule simple et énergie potentielle
|
|
élastique pour un ressort horizontal). L'énergie totale de l'OH (ET) est
|
|
donc égale à\[{E = \frac{1}{2}}mv_{\text{max}}^{2}\]
|
|
|
|
Or nous savons que :
|
|
\[{E_{\text{totale}} = \frac{1}{2}}mv_{\text{max}}^{2}\] avec
|
|
\[{v_{\text{max}} = A}\omega\]. Donc
|
|
\[{E_{\text{totale}} = \frac{1}{2}}m{v_{\text{max}}^{2} = \frac{1}{2}}mA^{2}\omega^{2}\]
|
|
|
|
Or \[T\] et \[\omega\] ne varient pas au cours de l'oscillation, elles
|
|
sont constantes.
|
|
|
|
Notons\[{k = m}\omega^{2}\] où k est une constante. On
|
|
trouve\[{E_{\text{totale}} = \frac{1}{2}}kA^{2}\]
|
|
|
|
qui est donc l'énergie totale d'un oscillateur harmonique.
|
|
|
|
\hypertarget{section}{%
|
|
\subsection{}\label{section}}
|
|
|
|
\hypertarget{que-repruxe9sente-k}{%
|
|
\subsection[Que représente k~?
|
|
]{\texorpdfstring{\protect\hypertarget{anchor-4}{}{}Que représente k~?
|
|
}{Que représente k~? }}\label{que-repruxe9sente-k}}
|
|
|
|
L'énergie totale d'un oscillateur harmonique
|
|
est~\[{E_{\text{totale}} = \frac{1}{2}}kA^{2}\]:
|
|
|
|
Que représente physiquement cette constante \[{k = m}\omega^{2}\]?
|
|
|
|
Pour un pendule élastique (un ressort)
|
|
|
|
k est la constante de raideur du ressort \[{F = k}x\](loi de Hooke) où
|
|
\[x\]~étant l'allongement du ressort à l'équilibre lorsque ce dernier
|
|
est soumis à une force de traction (ou de compression) F.
|
|
|
|
(Loi de Hooke)
|
|
|
|
Pour un pendule simple k =\[{k = m}\omega^{2}\]
|
|
\[{\omega = 2}\frac{\pi}{T}\]et
|
|
\[{T = 2}\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\text{donc}{\omega^{2} = \frac{4\pi^{2}}{T^{2}} = {4\pi^{2}}}\frac{1}{4\pi^{2}}{\frac{g}{L} = \frac{g}{L}}\]
|
|
|
|
à où \[L\]~: longueur du pendule et \[m\]~: masse du pendule
|
|
|
|
\hypertarget{evolution-au-cours-du-temps-des-uxe9nergies-cinuxe9tique-potentielle-et-totale.}{%
|
|
\subsection[Evolution au cours du temps des énergies cinétique,
|
|
potentielle et totale.
|
|
]{\texorpdfstring{\protect\includegraphics[width=8.183cm,height=4.821cm]{Pictures/100000010000018B000000E85C3B5046EC401703.png}\protect\hypertarget{anchor-5}{}{}Evolution
|
|
au cours du temps des énergies cinétique, potentielle et totale.
|
|
}{Evolution au cours du temps des énergies cinétique, potentielle et totale. }}\label{evolution-au-cours-du-temps-des-uxe9nergies-cinuxe9tique-potentielle-et-totale.}}
|
|
|
|
Variation de l'énergie cinétique
|
|
\[E_{c}{{(t)} = \frac{1}{2}}mv{{(t)} = \frac{1}{2}}m\omega^{2}A^{2}\text{cos}^{2}{({\omega{t + \phi}})}\]
|
|
|
|
Variation de l'énergie potentielle
|
|
\[E_{p}{{(t)} = \frac{1}{2}}{\mathit{ky}^{2} = \frac{1}{2}}kA^{2}\text{sin}^{2}{({\omega{t + \phi}})}\]
|
|
|
|
L'énergie totale reste constante. Elle est égale à la somme des énergies
|
|
cinétique et potentielle.
|
|
|
|
\[E_{c}{{(t)} + E_{p}}{{(t)} = E_{t} = \text{constante}}\]
|
|
|
|
\hypertarget{energie-dun-oscillateur-harmonique---exercices}{%
|
|
\subsection[Energie d'un oscillateur harmonique -
|
|
Exercices]{\texorpdfstring{\protect\hypertarget{anchor-6}{}{}Energie
|
|
d'un oscillateur harmonique -
|
|
Exercices}{Energie d'un oscillateur harmonique - Exercices}}\label{energie-dun-oscillateur-harmonique---exercices}}
|
|
|
|
\begin{figure}
|
|
\centering
|
|
\includegraphics[width=5.457cm,height=4.239cm]{Pictures/1000000100000255000001D4999CDF6CC98F91D9.png}
|
|
\caption{}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
\hypertarget{exercice-1}{%
|
|
\subsubsection[Exercice
|
|
1]{\texorpdfstring{\protect\hypertarget{anchor-7}{}{}Exercice
|
|
1}{Exercice 1}}\label{exercice-1}}
|
|
|
|
Un pendule simple de longueur égale à 40 cm et d'une masse de 50 g est
|
|
lâché lorsqu'il fait un angle de 10° avec la verticale.
|
|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
|
|
\tightlist
|
|
\item
|
|
Calculez son énergie potentielle maximale.
|
|
\item
|
|
Calculez sa vitesse maximale.
|
|
\item
|
|
Calculez sa vitesse à mi-hauteur.
|
|
\item
|
|
Quelle est son énergie totale~?
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\hypertarget{exercice-2}{%
|
|
\subsubsection[Exercice
|
|
2]{\texorpdfstring{\protect\hypertarget{anchor-8}{}{}Exercice
|
|
2\protect\includegraphics[width=2.688cm,height=4.12cm]{Pictures/100000000000004F00000079BF194595D71050C5.png}}{Exercice 2}}\label{exercice-2}}
|
|
|
|
Pour lancer une boule (masse 50 g) de « flipper », on comprime de 10 cm
|
|
un ressort d'une constante de raideur égale à 200 N/m. Quelle sera la
|
|
vitesse de la boule lorsqu'elle aborde le virage au bout d'une course
|
|
rectiligne de 1,5 m après qu'elle ait quitté le ressort. Négligez tout
|
|
frottement !
|
|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
|
|
\tightlist
|
|
\item
|
|
si le flipper est horizontal ?
|
|
\item
|
|
s'il fait un angle de 5° avec l'horizontale ?
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\hypertarget{exercice-3}{%
|
|
\subsubsection[Exercice
|
|
3]{\texorpdfstring{\protect\hypertarget{anchor-9}{}{}\protect\includegraphics[width=5.75cm,height=5.539cm]{Pictures/10000001000002CB000002AEBE5814C250A43575.png}Exercice
|
|
3}{Exercice 3}}\label{exercice-3}}
|
|
|
|
Une balle de 500g est lancée verticalement vers le haut sur un ressort
|
|
de constante de raideur égale à 32 N/m et de masse négligeable. La
|
|
vitesse de lancer de 2 m/s.
|
|
|
|
Le ressort se comprime de 12 cm lorsque la bille atteint sa hauteur
|
|
maximale.
|
|
|
|
Quelle est la hauteur atteinte par la bille~?
|
|
|
|
\hypertarget{exercice-4}{%
|
|
\subsubsection[Exercice
|
|
4]{\texorpdfstring{\protect\hypertarget{anchor-10}{}{}Exercice
|
|
4}{Exercice 4}}\label{exercice-4}}
|
|
|
|
Un fusil de fléchettes comprend un ressort de raideur k = 250 N/m, de
|
|
longueur à vide l0 = 12 cm et qui, comprimé par la fléchette de masse 25
|
|
g, ne mesure plus que l = 4,0 cm.
|
|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
|
|
\item
|
|
Avec quelle vitesse la fléchette sort-elle du fusil dans le cas d'un
|
|
tir horizontal. Faire le calcul sans tenir compte du frottement entre
|
|
fléchette et fusil.
|
|
\item
|
|
Quelle altitude maximale peut-elle atteindre dans le cas d'un tir
|
|
vertical ? Faire le calcul sans tenir compte du frottement entre
|
|
fléchette et fusil ni de la résistance de l'air.
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\hypertarget{exercice-5}{%
|
|
\subsubsection[Exercice
|
|
5]{\texorpdfstring{\protect\hypertarget{anchor-11}{}{}Exercice
|
|
5\protect\includegraphics[width=8.373cm,height=5.95cm]{Pictures/10000000000013A000000DF82AB24E2F70D0A5A2.png}}{Exercice 5}}\label{exercice-5}}
|
|
|
|
La masse de 2 kg de la figure ci-contre est suspendue au plafond avec un
|
|
ressort de masse négligeable et dont la constante de raideur vaut 200
|
|
N/m. Au départ, le ressort n'est pas étiré ni comprimé. On laisse alors
|
|
tomber la masse sans la pousser. On aura alors un mouvement
|
|
d'oscillation de la masse.
|
|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\def\labelenumi{\alph{enumi})}
|
|
\tightlist
|
|
\item
|
|
Quelle sera la distance parcourue par le ressort avant qu'il n'entame
|
|
sa remontée verticale~?
|
|
\item
|
|
Quelle sera la vitesse maximale du ressort~?
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\begin{figure}
|
|
\centering
|
|
\includegraphics[width=3.17cm,height=4.47cm]{Pictures/1000000000000BC400000F1CA9B74E9E2E8AAFA4.png}
|
|
\caption{}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
\hypertarget{exercice-6}{%
|
|
\subsubsection[Exercice
|
|
6]{\texorpdfstring{\protect\hypertarget{anchor-12}{}{}Exercice
|
|
6}{Exercice 6}}\label{exercice-6}}
|
|
|
|
Le pendule de la figure ci-contre est en mouvement harmonique et a une
|
|
vitesse de 5 m/s quand il passe par sa position d'équilibre. Quelle est
|
|
la vitesse du pendule lorsqu'il fait un angle de 10° par rapport à la
|
|
verticale~?
|
|
|
|
\includegraphics[width=17.498cm,height=26.033cm]{Pictures/1000000100000264000003450BBDC1031D5BD847.png}
|
|
|
|
\includegraphics[width=17.498cm,height=26.174cm]{Pictures/1000000100000264000003457EC57F1EEB41A85F.png}
|
|
|
|
\includegraphics[width=17.498cm,height=23.941cm]{Pictures/1000000100000264000003450C3A378F8D932159.png}
|
|
|
|
\includegraphics[width=17.498cm,height=24.552cm]{Pictures/100000010000026400000345AA0147C4E87FFA0E.png}
|
|
|
|
\includegraphics[width=17.498cm,height=23.941cm]{Pictures/1000000100000264000003455C9DE3ADDE2F2C0A.png}
|
|
|
|
\includegraphics[width=17.498cm,height=23.941cm]{Pictures/100000010000026400000345A27521696B730F2D.png}
|
|
|
|
\includegraphics[width=18.196cm,height=24.897cm]{Pictures/100000010000026400000345B30134D27454F986.png}
|
|
|
|
\includegraphics[width=17.498cm,height=23.941cm]{Pictures/100000010000026400000345CD11555FB30FBF68.png}
|