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$\lambda$-calcul
Analyseur lexical
from sly import Lexer
class LambdaSyntaxError(Exception):
def __init__(self, msg):
self.message = msg
class Lambda_lexer(Lexer):
tokens = {VAR, LPAR, RPAR, LAMBDA, POINT}
VAR = r'[a-zA-Z][a-zA-Z0-9]*'
LPAR = r'\('
RPAR = r'\)'
LAMBDA = r'\!|λ'
POINT = r'\.'
ignore = ' \t'
# Define a rule so we can track line numbers
@_(r'\n+')
def ignore_newline(self, t):
self.lineno += len(t.value)
def error(self, t):
raise LambdaSyntaxError('Caractère illégal : {:s} at position {:d}'.format(t.value[0], t.index))
self.index += 1
lexer = Lambda_lexer()
l = list(lexer.tokenize('''((!x.(x x) y)
λx.y)'''))
l
list(lexer.tokenize('!x.[y z]'))
Analyseur syntaxique
Voici la grammaire du langage décrivant les $\lambda$-termes
term ::= VAR | LAMBDA VAR POINT term | LPAR term term RPAR
from sly import Parser
class Lambda_parser(Parser):
tokens = Lambda_lexer.tokens
@_('VAR')
def term(self, p):
return Lambda_terme(0, p[0])
@_('LAMBDA VAR POINT term')
def term(self, p):
return Lambda_terme(1, p[1], p.term)
@_('LPAR term term RPAR')
def term(self, p):
return Lambda_terme(2, p.term0, p.term1)
parser = Lambda_parser()
La classe Lambda_terme
def autre_variable(var, variables):
n = 0
while var + '{:d}'.format(n) in variables:
n += 1
return var + '{:d}'.format(n)
class Lambda_terme():
def __init__(self, categorie, *args):
if categorie not in (0, 1, 2):
raise Exception('categorie non valide')
if categorie == 0:
if len(args) != 1 or not isinstance(args[0], str):
raise Exception('mauvaise construction pour une variable')
elif categorie == 1:
if len(args) != 2 or not isinstance(args[0], str) or not isinstance(args[1], Lambda_terme):
raise Exception('mauvaise construction pour une abstraction')
else:
if len(args) != 2 or not isinstance(args[0], Lambda_terme) or not isinstance(args[1], Lambda_terme):
raise Exception('mauvaise construction pour une application')
self._content = (categorie,) + tuple(args)
@staticmethod
def cree(descr):
return parser.parse(lexer.tokenize(descr))
def est_variable(self):
return self._content[0] == 0
def est_abstraction(self):
return self._content[0] == 1
def est_application(self):
return self._content[0] == 2
def applique(self, terme):
if not isinstance(terme, Lambda_terme):
raise Exception('Application impossible')
return Lambda_terme(2, self, terme)
def abstrait(self, var):
if not isinstance(var, str):
raise Exception("Variable d'Abstraction invalide")
return Lambda_terme(1, var, self)
def est_redex(self):
return self.est_application() and self._content[1].est_abstraction()
def est_forme_normale(self):
if self.est_variable():
return True
elif self.est_abstraction():
return self._content[2].est_forme_normale()
else:
return not self._content[1].est_abstraction() and all(self._content[k].est_forme_normale() for k in (1, 2))
def variables_libres(self):
if self.est_variable():
return {self._content[1]}
elif self.est_application():
var_libres = self._content[2].variables_libres()
return var_libres.union(self._content[1].variables_libres())
else:
var_libres = self._content[2].variables_libres()
var_libres.discard(self._content[1])
return var_libres
def subs(self, var, terme):
if not isinstance(var, str):
raise Exception('subst possible uniquement pour les variables')
if not isinstance(terme, Lambda_terme):
raise Exception('subst possible uniquement sur un lambda-terme')
if self.est_variable():
if var == self._content[1]:
return terme
else:
return self
elif self.est_application():
return Lambda_terme(2, self._content[1].subs(var, terme), self._content[2].subs(var, terme))
else:
var_abstr = self._content[1]
corps_abstr = self._content[2]
var_libres_corps = corps_abstr.variables_libres()
if var == var_abstr or var not in var_libres_corps:
return self
elif var_abstr not in terme.variables_libres():
return Lambda_terme(1, var_abstr, corps_abstr.subs(var, terme))
else:
nouvelle_var = autre_variable(var_abstr, corps_abstr.variables_libres())
return Lambda_terme(1,
nouvelle_var,
corps_abstr.subs(var_abstr, Lambda_terme(0, nouvelle_var)).subs(var, terme))
def _reduit(self):
if self.est_variable():
return self, False
elif self.est_abstraction():
corps_reduit, est_reduit = self._content[2]._reduit()
return (Lambda_terme(1, self._content[1], corps_reduit) if est_reduit else self, est_reduit)
else:
termegauche = self._content[1]
termedroit = self._content[2]
if termegauche.est_abstraction():
var_abstr = termegauche._content[1]
corps = termegauche._content[2]
return corps.subs(var_abstr, termedroit), True
else:
termegauche_reduit, est_reduit = termegauche._reduit()
if est_reduit:
return Lambda_terme(2, termegauche_reduit, termedroit), est_reduit
else:
termedroit_reduit, est_reduit = termedroit._reduit()
return (Lambda_terme(2, termegauche, termedroit_reduit) if est_reduit else self, est_reduit)
def reduit(self):
return self._reduit()
def __str__(self):
if self.est_variable():
return self._content[1]
elif self.est_abstraction():
return 'λ{:s}.{:s}'.format(self._content[1], str(self._content[2]))
else:
return '({:s} {:s})'.format(str(self._content[1]), str(self._content[2]))
T1 = Lambda_terme(0, "x")
T2 = Lambda_terme(1, "x", T1)
T3 = Lambda_terme.cree('(!x.x x)')
print(T1)
print(T2)
print(T3)
tuple(t.est_variable() for t in (T1, T2, T3))
tuple(t.est_abstraction() for t in (T1, T2, T3))
tuple(t.est_application() for t in (T1, T2, T3))
tuple(t.est_redex() for t in (T1, T2, T3))
tuple(t.est_forme_normale() for t in (T1, T2, T3))
tuple(t.variables_libres() for t in (T1, T2, T3))
print(T1, '-->', T1.subs('y', Lambda_terme.cree('(y x)')))
print(T1, '-->', T1.subs('x', Lambda_terme.cree('(y x)')))
T4 = Lambda_terme.cree('!x.y')
print(T4, '-->', T4.subs('x', Lambda_terme.cree('(y z)')))
print(T4, '-->', T4.subs('y', Lambda_terme.cree('(t z)')))
print(T4, '-->', T4.subs('y', Lambda_terme.cree('(x z)')))
print(T3, '-->', T3.subs('y', Lambda_terme.cree('(y x)')))
print(T3, '-->', T3.subs('x', Lambda_terme.cree('(y x)')))
OMEGA = Lambda_terme.cree('(!x.(x x) !x.(x x))')
print(OMEGA)
OMEGA.est_redex()
OMEGA.est_forme_normale()
OMEGA.variables_libres()
res, est_red = OMEGA.reduit()
print(res)
print(est_red)
res, est_red = Lambda_terme.cree('(!x.(eric x) vero)').reduit()
print(res, est_red)
def calcul(lambda_terme, nb_etapes_max=100, verbose=False):
etape = 0
forme_normale_atteinte = False
if verbose: print(lambda_terme)
while not forme_normale_atteinte and etape < nb_etapes_max:
etape += 1
terme_reduit, est_reduit = lambda_terme.reduit()
if verbose: print('{:3d}: ---> {:s}'.format(etape, str(lambda_terme), str(terme_reduit)))
forme_normale_atteinte = not est_reduit
lambda_terme = terme_reduit
if forme_normale_atteinte:
if verbose: print('Forme normale calculée : {:s}'.format(str(terme_reduit)))
return terme_reduit
else:
if verbose: print('Pas de forme normale atteinte après {:d} étapes de réduction'.format(etape))
return None
calcul(OMEGA, nb_etapes_max=10, verbose=True)
Entiers, successeurs, addition, multiplication et exponentiation
ZERO = Lambda_terme.cree('!f.!x.x')
UN = Lambda_terme.cree('!f.!x.(f x)')
DEUX = Lambda_terme.cree('!f.!x.(f (f x))')
SUC = Lambda_terme.cree('!n.!f.!x.(f ((n f) x))')
TROIS = calcul(SUC.applique(DEUX), verbose=True)
calcul(TROIS.applique(SUC).applique(ZERO), verbose=True)
ADD = Lambda_terme.cree('!n.!m.!f.!x.((n f) ((m f) x))')
QUATRE = calcul(ADD.applique(UN).applique(TROIS), verbose=True)
CINQ = calcul(ADD.applique(TROIS).applique(DEUX), verbose=True)
SEPT = calcul(ADD.applique(QUATRE).applique(TROIS), verbose=True)
MUL = Lambda_terme.cree('!n.!m.!f.(n (m f))')
SIX = calcul(MUL.applique(DEUX).applique(TROIS), verbose=True)
EXP = Lambda_terme.cree('!n.!m.(m n)')
HUIT = calcul(EXP.applique(DEUX).applique(TROIS), verbose=True)
NEUF = calcul(EXP.applique(TROIS).applique(DEUX), verbose=True)
Booléens, opérateurs logiques et conditionnelles
VRAI = Lambda_terme.cree('!x.!y.x')
FAUX = Lambda_terme.cree('!x.!y.y')
COND = Lambda_terme.cree('!c.!a.!s.((c a) s)')
calcul(COND.applique(VRAI).applique(UN).applique(DEUX), verbose=True)
calcul(COND.applique(FAUX).applique(UN).applique(DEUX), verbose=True)
ET = COND.applique(Lambda_terme.cree('a')).applique(Lambda_terme.cree('b')).applique(FAUX).abstrait('b').abstrait('a')
print(ET)
calcul(ET.applique(VRAI).applique(VRAI), verbose=True)
calcul(ET.applique(VRAI).applique(FAUX), verbose=True)
calcul(ET.applique(FAUX).applique(VRAI), verbose=True)
calcul(ET.applique(FAUX).applique(FAUX), verbose=True)
OU = COND.applique(Lambda_terme.cree('a')).applique(VRAI).applique(Lambda_terme.cree('b')).abstrait('b').abstrait('a')
calcul(OU.applique(VRAI).applique(VRAI), verbose=True)
calcul(OU.applique(VRAI).applique(FAUX), verbose=True)
calcul(OU.applique(FAUX).applique(VRAI), verbose=True)
calcul(OU.applique(FAUX).applique(FAUX), verbose=True)
NON = COND.applique(Lambda_terme.cree('a')).applique(FAUX).applique(VRAI).abstrait('a')
calcul(NON.applique(VRAI), verbose=True)
calcul(NON.applique(FAUX), verbose=True)
NUL = Lambda_terme.cree('!n.((n !x.{:s}) {:s})'.format(str(FAUX), str(VRAI)))
print(NUL)
calcul(NUL.applique(ZERO), verbose=True)
calcul(NUL.applique(TROIS), verbose=True)
Couples
CONS = COND.applique(Lambda_terme.cree('s')).applique(Lambda_terme.cree('x')).applique(Lambda_terme.cree('y')).abstrait('s').abstrait('y').abstrait('x')
print(CONS)
UN_DEUX = calcul(CONS.applique(UN).applique(DEUX), verbose=True)
CAR = Lambda_terme.cree('c').applique(VRAI).abstrait('c')
print(CAR)
calcul(CAR.applique(UN_DEUX), verbose=True)
CDR = Lambda_terme.cree('c').applique(FAUX).abstrait('c')
calcul(CDR.applique(UN_DEUX), verbose=True)
M_PRED = Lambda_terme.cree('!n.(CAR ((n !c.((CONS (CDR c)) (SUC (CDR c)))) ((CONS ZERO) ZERO)))')
print(M_PRED)
PRED = M_PRED.subs('CAR', CAR).subs('CONS', CONS).subs('CDR', CDR).subs('SUC', SUC).subs('ZERO', ZERO)
print(PRED)
calcul(PRED.applique(DEUX), verbose=True)
calcul(PRED.applique(ZERO), verbose=True)
M_SUB = Lambda_terme.cree('!n.!m.((m PRED) n)')
print(M_SUB)
SUB = M_SUB.subs('PRED', PRED)
print(SUB)
calcul(SUB.applique(TROIS).applique(UN), verbose=True)
M_INF = Lambda_terme.cree('!n.!m.(NUL ((SUB m) n))')
print(M_INF)
INF = M_INF.subs('NUL', NUL).subs('SUB', SUB)
#lambda n: lambda m: est_nul(sub(m)(n))
calcul(INF.applique(TROIS).applique(UN), verbose=True)
calcul(INF.applique(UN).applique(TROIS), verbose=True)
calcul(INF.applique(UN).applique(UN), verbose=True)
M_EGAL = Lambda_terme.cree('!n.!m.((ET ((INF n) m)) ((INF m) n))')
print(M_EGAL)
EGAL = M_EGAL.subs('ET', ET).subs('INF', INF)
print(EGAL)
print(calcul(EGAL.applique(UN).applique(UN)))
print(calcul(EGAL.applique(UN).applique(DEUX)))
Itération
M_FACTv1 = Lambda_terme.cree('!n.(CDR ((n !c.((CONS (SUC (CAR c))) ((MUL (SUC (CAR c))) (CDR c)))) ((CONS ZERO) UN)))')
print(M_FACTv1)
FACTv1 = M_FACTv1.subs('CONS', CONS).subs('CAR', CAR).subs('CDR', CDR).subs('SUC', SUC).subs('MUL', MUL).subs('UN', UN).subs('ZERO', ZERO)
print(FACTv1)
print(calcul(FACTv1.applique(ZERO)))
print(calcul(FACTv1.applique(UN)))
print(calcul(FACTv1.applique(DEUX)))
print(calcul(FACTv1.applique(DEUX), nb_etapes_max=200))
print(calcul(FACTv1.applique(TROIS), nb_etapes_max=500))
print(calcul(FACTv1.applique(QUATRE), nb_etapes_max=1700))
Et la récursivité ?
M_PHI_FACT = Lambda_terme.cree('!f.!n.(((COND ((EGAL n) ZERO)) UN) ((MUL n) (f (PRED n))))')
print(M_PHI_FACT)
PHI_FACT = M_PHI_FACT.subs('COND', COND).subs('EGAL', EGAL).subs('ZERO', ZERO).subs('UN', UN).subs('MUL', MUL).subs('PRED', PRED)
BOTTOM = Lambda_terme.cree('!y.OMEGA').subs('OMEGA', OMEGA)
print(BOTTOM)
FACT0 = PHI_FACT.applique(BOTTOM)
print(calcul(FACT0.applique(ZERO)))
calcul(FACT0.applique(UN), verbose=True)
FACT1 = PHI_FACT.applique(FACT0)
print(calcul(FACT1.applique(ZERO)))
print(calcul(FACT1.applique(UN), nb_etapes_max=200))
FIX_CURRY = Lambda_terme.cree('!f.(!x.(f (x x)) !x.(f (x x)))')
print(FIX_CURRY)
FACTv2 = FIX_CURRY.applique(PHI_FACT)
print(calcul(FACTv2.applique(ZERO)))
print(calcul(FACTv2.applique(UN), nb_etapes_max=200))
print(calcul(FACTv2.applique(DEUX), nb_etapes_max=700))
print(calcul(FACTv2.applique(TROIS), nb_etapes_max=4000))
print(calcul(FACTv2.applique(QUATRE), nb_etapes_max=25000))
PF = FIX_CURRY.applique(Lambda_terme.cree('M'))
calcul(PF, verbose=True, nb_etapes_max=10)
$\lambda$-calcul avec les lambda-expressions de Python
Les entiers de Church
zero = lambda f: lambda x: x
un = lambda f: lambda x: f(x)
deux = lambda f: lambda x: f(f(x))
trois = lambda f: lambda x: f(f(f(x)))
def entier_church_en_int(ec):
return ec(lambda n: n+1)(0)
tuple(entier_church_en_int(n) for n in (zero, un, deux, trois))
suc = lambda n: lambda f: lambda x: f(n(f)(x))
tuple(entier_church_en_int(suc(n)) for n in (zero, un, deux, trois))
def int_en_entier_church(n):
if n == 0:
return zero
else:
return suc(int_en_entier_church(n - 1))
tuple(entier_church_en_int(int_en_entier_church(n)) for n in range(10))
add = lambda n: lambda m: lambda f: lambda x: n(f)(m(f)(x))
cinq = add(deux)(trois)
entier_church_en_int(cinq)
mul = lambda n: lambda m: lambda f: n(m(f))
six = mul(deux)(trois)
entier_church_en_int(six)
exp = lambda n: lambda m: m(n)
huit = exp(deux)(trois)
entier_church_en_int(huit)
Les booléens
vrai = lambda x: lambda y: x
faux = lambda x: lambda y: y
def booleen_en_bool(b):
return b(True)(False)
tuple(booleen_en_bool(b) for b in (vrai, faux))
cond = lambda c: lambda a: lambda s: c(a)(s)
cond(vrai)(1)(2)
cond(faux)(1)(2)
cond(vrai)(1)(1/0)
non = lambda b: cond(b)(faux)(vrai)
tuple(booleen_en_bool(non(b)) for b in (vrai, faux))
et = lambda b1: lambda b2: cond(b1)(b2)(faux)
tuple(booleen_en_bool(et(b1)(b2)) for b1 in (vrai, faux) for b2 in (vrai, faux))
ou = lambda b1: lambda b2: cond(b1)(vrai)(b2)
tuple(booleen_en_bool(ou(b1)(b2)) for b1 in (vrai, faux) for b2 in (vrai, faux))
est_nul = lambda n : n(lambda x: faux)(vrai)
tuple(booleen_en_bool(est_nul(n)) for n in (zero, un, deux, trois, cinq, six, huit))
Les couples
cons = lambda x: lambda y: lambda z: z(x)(y)
un_deux = cons(un)(deux)
car = lambda c: c(vrai)
cdr = lambda c: c(faux)
entier_church_en_int(car(un_deux)), entier_church_en_int(cdr(un_deux))
pred = lambda n: car(n(lambda c: cons(cdr(c))(suc(cdr(c))))(cons(zero)(zero)))
tuple(entier_church_en_int(pred(int_en_entier_church(n))) for n in range(10))
sub = lambda n: lambda m: m(pred)(n)
entier_church_en_int(sub(huit)(trois))
est_inf_ou_egal = lambda n: lambda m: est_nul(sub(m)(n))
tuple(booleen_en_bool(est_inf_ou_egal(cinq)(int_en_entier_church(n))) for n in range(10))
est_egal = lambda n: lambda m: et(est_inf_ou_egal(n)(m))(est_inf_ou_egal(m)(n))
tuple(booleen_en_bool(est_egal(cinq)(int_en_entier_church(n))) for n in range(10))
Itération
fact = lambda n: cdr(n(lambda c: (cons(suc(car(c)))(mul(suc(car(c)))(cdr(c)))))(cons(zero)(un)))
tuple(entier_church_en_int(fact(int_en_entier_church(n))) for n in range(7))
Combinateur de point fixe
phi_fact = lambda f: lambda n: 1 if n == 0 else n*f(n-1)
bottom = lambda x: (lambda y: y(y))(lambda y:y(y))
f0 = phi_fact(bottom)
f1 = phi_fact(f0)
f2 = phi_fact(f1)
f3 = phi_fact(f2)
f4 = phi_fact(f3)
tuple(f4(n) for n in range(4))
def fact_rec(n):
if n == 0:
return 1
else:
return n * fact_rec(n - 1)
fact2 = phi_fact(fact_rec)
tuple(fact2(n) for n in range(7))
fix_curry = lambda f: (lambda x: lambda y: f(x(x))(y))(lambda x: lambda y: f(x(x))(y))
fact3 = fix_curry(phi_fact)
tuple(fact3(n) for n in range(7))
Un programme obscur
print((lambda x: (lambda y: lambda z: x(y(y))(z))(lambda y: lambda z: x(y(y))(z)))
(lambda x: lambda y: '' if y == [] else chr(y[0])+x(y[1:]))
(((lambda x: (lambda y: lambda z: x(y(y))(z)) (lambda y: lambda z: x(y(y))(z)))
(lambda x: lambda y: lambda z: [] if z == [] else [y(z[0])]+x(y)(z[1:])))
(lambda x: (lambda x: (lambda y: lambda z: x(y(y))(z))(lambda y: lambda z: x(y(y))(z)))
(lambda x: lambda y: lambda z: lambda t: 1 if t == 0 else (lambda x: ((lambda u: 1 if u == 0 else z)(t % 2)) * x * x % y)
(x(y)(z)(t // 2)))(989)(x)(761))
([377, 900, 27, 27, 182, 647, 163, 182, 390, 27, 726, 937])))
phiListEnChaine = lambda x: lambda y: '' if y == [] else chr(y[0]) + x(y[1:])
fix_curry(phiListEnChaine)([65+k for k in range(26)])
phiMap = lambda x: lambda y: lambda z: [] if z == [] else [y(z[0])] + x(y)(z[1:])
fix_curry(phiMap)(lambda x: x*x)([1, 2, 3, 4])
phiExpoMod = lambda x: lambda y: lambda z: lambda t: 1 if z == 0 else (lambda u: 1 if u == 0 else y)(z % 2) * x(y)(z//2)(t) ** 2 % t
fix_curry(phiExpoMod)(2)(10)(1000)