mes-scripts-de-ml/fondamentaux/03-descente_gradient_stochastique.py

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import time, math

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# 03-descente_gradient_stochastique.py
# @title: Apprentissage par descente de gradient stochastique
# @project: Mes scripts de ML
# @lang: fr
# @authors: Philippe Roy <philippe.roy@ac-grenoble.fr>
# @copyright: Copyright (C) 2023 Philippe Roy
# @license: GNU GPL
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# Commandes NumPy :
# - np.array : créer un tableau à partir d'une liste de listes
# - np.c_ : concatène les colonnes des tableaux
# - np.ones : créer un tableau de 1
# - np.linalg.inv : inversion de matrice
# - .T : transposé de matrice
# - .dot : produit de matrice
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# Initialisation
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# Init du temps
t_debut = time.time()

# Init des plots
fig = plt.figure(figsize=(15, 5))
fig.suptitle("Descente de gradient stochastique")
donnees_ax = fig.add_subplot(141) # Observations : x1 et cibles : y
model_ax = fig.add_subplot(142) # Modèle : theta0, theta1
couts_ax = fig.add_subplot(143) # Coûts : RMSE, MSE, ... 
app_ax = fig.add_subplot(144) # Taux d'appentissage : eta

i_list=[] # Itération
couts_2d=[]
couts_delta=[]
couts_mse=[] # MSE
couts_rmse=[] # RMSE
eta_list=[] # Taux d'apprentissage

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# Observations
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# Observations d'apprentisage
m = 1000 # Nombre d'observations
bg = 1 # Quantité du bruit gaussien
x1 = 2*np.random.rand(m, 1) # Liste des observations x1
y = 4 + 3*x1 + bg * np.random.rand(m, 1) # Liste des cibles y
X = np.c_[np.ones((m, 1)), x1] # Matrice des observations, avec x0=1
donnees_ax.plot(x1, y, 'b.', label="Observations")
exact_solution = np.linalg.inv(X.T.dot(X)).dot(X.T).dot(y) # Equation normale

# Nouvelles observations
x1_new=np.array([[0], [2]])
X_new = np.c_[np.ones((2, 1)), x1_new] # Matrice des observations, avec x0=1

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# Phase d'apprentissage et d'inférence
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# Phase d'apprentissage par descente de gradient stochastique
# - theta : vecteur paramètres du modèle
# - gradient : gradient du coût en fonction de theta
# - eta : taux d'appentissage ici dégressif par échéancier d'apprentissage (ech_app)

# n_epoq = 50  # Nombre d'époques
n_epoq = 2  # Nombre d'époques (hyperparamètre)

# Rédéfinition du taux d'apprentissage à partir de l'échéancier d'apprentissage
t0, t1 = 5, 50 # Facteurs de l'échéancier d'apprentissage (hyperparamètres)
def ech_app (t):
    return t0 / (t + t1)

# Calcul du coût (Mean Square Error (MSE), Root Mean Square Error (RMSE))
def mse(theta):
    return np.sum((np.dot(X, theta) - y)**2)/m
def rmse(theta):
    return math.sqrt(np.sum((np.dot(X, theta) - y)**2)/m)
    
# Initialisation aléatoire
theta= np.random.randn(2,1)
theta0=[theta[0]]
theta1=[theta[1]]

# Descente du gradient
for epoq in range (n_epoq):
    for i in range(m):
        i_list.append(epoq * m  + i)

        # Calcul du gradient du pas
        idx = np.random.randint(m) # Index aléatoire
        xi = X[idx : idx+1]
        yi = y[idx : idx+1]
        gradients = 2/1 * xi.T.dot(xi.dot(theta) - yi)
        eta = ech_app (epoq * m  + i)
        eta_list.append(eta)
        theta = theta - eta *  gradients
        theta0.append(theta[0])
        theta1.append(theta[1])

        # Calcul de l'erreur avec la norme du vecteur 2D (Objectif -> Theta) dans le plan (theta0, theta1)
        couts_2d.append(math.sqrt((theta[0]-exact_solution[0])**2+(theta[1]-exact_solution[1])**2))

        # Calcul du RMSE à la main :
        # FIXME : étrange, je n'ai pas le même résultat qu'avec  'couts_rmse.append(rmse(theta))'
        delta = 0
        for j in range (m):
            delta= delta +((theta[0] + theta[1]*x1[j])-(exact_solution[0] + exact_solution[1]*x1[j]))**2
        delta = math.sqrt(delta/m)
        couts_delta.append(delta)

        # Calcul du RMSE et du MSE par les matrices
        couts_mse.append(mse(theta))
        couts_rmse.append(rmse(theta))

        # Prédiction du pas
        # Phase d'inférence (dernier pas)
        y_predict=X_new.dot(theta)
        donnees_ax.plot(x1_new, y_predict, 'c-', linewidth=0.5)

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# Résultats
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# Plot des données
donnees_ax.set_title("Données")
donnees_ax.plot(x1_new, y_predict, 'r-', label="Prédictions")
donnees_ax.set_xlabel(r'$x_1$')
donnees_ax.set_ylabel(r'$y$', rotation=0)
donnees_ax.legend()

# Plot des paramètres du modèle
model_ax.set_title("Paramètres du modèle")
model_ax.plot(theta0, theta1, '.', ls=':', color='c', fillstyle='none', label="Chemin", markevery=10)
model_ax.plot(exact_solution[0], exact_solution[1], "o", color='k', fillstyle='full',  label="Equation normale")
model_ax.set_xlabel(r'$\theta_0$')
model_ax.set_ylabel(r'$\theta_1  $', rotation=0)
model_ax.legend()

# Plot du cout
couts_ax.set_title("Coûts")
couts_ax.plot(i_list, couts_2d, '.', ls=':', color='c', fillstyle='none', label="Coûts vecteur 2D", markevery=10)
couts_ax.plot(i_list, couts_delta, '.', ls=':', color='r', fillstyle='none', label="Coûts RMSE à la main", markevery=10)
couts_ax.plot(i_list, couts_mse, '.', ls=':', color='b', fillstyle='none', label="Coûts MSE", markevery=10)
couts_ax.plot(i_list, couts_rmse, '.', ls=':', color='g', fillstyle='none', label="Coûts RMSE", markevery=10)
# couts_ax.plot(couts_i, couts_rmse, color='g', label="Coûts RMSE")
couts_ax.set_xlabel(r'$i$')
couts_ax.set_ylabel("Coûts")
couts_ax.legend()

# Plot du taux d'appentissage
app_ax.set_title("Taux d'appentissage")
app_ax.plot(i_list, eta_list, '.', ls=':', color='b', fillstyle='none', label="Taux d'appentissage", markevery=10)
app_ax.set_xlabel(r'$i$')
app_ax.set_ylabel(r'$\eta$', rotation=0)
# app_ax.legend()

plt.show()

# Performances
print ("Theta th : theta0 : "+str(4)+"     ; theta1 : "+str(3))
print ("Theta    : theta0 : "+str(round(float(theta[0]),3))+" ; theta1 : "+str(round(float(theta[1]),3)))
print ("Erreurs  : theta0 : "+str(round(float(theta[0]-4),3))+" ; theta1 : "+str(round(float(theta[1]-3),3)))
print ("Temps : "+str(time.time()-t_debut))